a) Ta có f(x) - 5 \(⋮\)x + 1 

=> x³ + mx² + nx + 2 - 5 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx² + nx  - 3 \(⋮\)x + 1

=> x = - 1 là nghiệm đa thức 

Khi đó (-1)³ + m(-1)² + n(-1) - 3 = 0

<=> m - n = 4 (1) 

Tương tự ta được f(x) - 8 \(⋮\)x + 2 

=> x³ + mx² + nx - 6 \(⋮\) x + 2

=> x = -2 là nghiệm đa thức

=> (-2)³ + m(-2)² + n(-2) - 6 = 0

<=> 2m - n = 7 (2) 

Từ (1)(2) => HPT \(\left\{{}\begin{matrix}m-n=4\\2m-n=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức đó là f(x) = x³ + 3x² - x + 2  

b)  f(x) - 7 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx + n - 7 \(⋮\) x + 1 

=> x = -1 là nghiệm đa thức 

=> (-1)³ + m(-1) + n - 7 = 0

<=> -m + n = 8 (1) 

Tương tự ta được : x³ + mx + n + 5 \(⋮\)x - 3 

=> x = 3 là nghiệm đa thức 

=> 3³ + 3m + n + 5 = 0

<=> 3m + n = -32 (2) 

Từ (1)(2) => HPT : \(\left\{{}\begin{matrix}3m+n=-32\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=-40\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-10\\n=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy f(x) = x³ - 10x -2

P(x) chia hết cho x - 2 

=> P(2) = 0 

=> \(2^4+m.2^3-55.2^2+2n-156=0\)<=> 8m + 2n = 360 => 4m + n = 180

P(x) chia hết cho x - 3 

=> P(3) = 0 

=> \(3^4+m.3^3-55.3^2+3n-156=0\)<=> 27m + 3n = 570 => 9m + n = 190

=> ( 9m + n ) - ( 4m+ n ) = 190 - 180 

=> 5m = 10 

=> m = 2 

=> 4.2 + n = 180 => n = 172

Vậy P(x)  = \(x^4+2x^3-55x^2+172x-156\)

P(x) chia hết cho x-2<=>P(2)=2⁴ + 8m - 220 +2n -  156 =0  (1)

P(x) chia hết cho x-3<= >P(3)=3⁴ + 27m - 495 + 3n -156=0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

{16+8m-220+2n-156=0   <=>8m+2n=360   

{81+27m-495+3n-156=0 <=>27m+3n=570 

Giair hệ phương trình ta được

m=2 và n=172

thay m,n vào P(x), ta được:

P(x)=x⁴+2x³-55x²+172x-156

<=>P(x)=(x-2)(x-3)(x²+7x+6)<=>P(x)=0

<=>[x-2=0              <=>x=2

      [x-3=0              <=>x=3

      [x²+7x+6=0      <=>x=-7+3√17 / 2 hoặc x=7-3√17 / 2

\(f\left(x\right)⋮\left(x+1\right)\)tức là chia hết cho \(\left[x-\left(-1\right)\right]\)

Do đó: \(f\left(-1\right)=0\Rightarrow n=-7\)

Tương tự, \(f\left(x\right)⋮\left(x-3\right)\)nên \(f\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow36m-13n-3=0\)

Giải hệ\(\hept{\begin{cases}n=-7\\36m-13n-3=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=-7\\m=\frac{-22}{9}\end{cases}}\)

 Đặt             \(x^4+mx^3+29x^2+nx+4=\left(x^2+ax+2\right)^2=x^4+a^2x^2+4+2ax^3+4ax^2+4ax\)

       \(=x^4+2ax^3+\left(a^2+4a\right)x^2+4ax+4\)

=>a² +4a = 29 => a+2 =+- 5 => a =3 hoặc a =-7

=>n =4a = 

=> m =2a  =